Quan hệ R (2 ngôi) thân 2 tập phù hợp A và B là một trong tập nhỏ của A´ B.
Bạn đang xem: Bài tập quan hệ toán rời rạc có lời giải
Một quanhệ giữa A với A gọi là 1 trong quan hệ bên trên A. Nếu (a,b)ÎR, ta viết aRb.
Chương 3Quan hệ (Relations)1.1 Định nghĩa 1.1: quan hệ tình dục R (2 ngôi) giữa 2 tập thích hợp A với B là 1 trong tập nhỏ của A× B. Một quanhệ thân A với A gọi là 1 quan hệ bên trên A ví như (a,b)∈R, ta viết aRb.Ví dụ 1.1: A=Tập các quận-huyện. B=Tập những tỉnh-TP tình dục R ≡ “Quận/Huyện nằm trong tỉnh” thân 2 tập A và B là tập của A× B:Chắng hạn: R=(Long Khánh,Đồng Nai),(Gò vấp, Tp. HCM), (Bình chánh, Tp.HCM),(Long Thành, Đồng nai) quan hệ nam nữ này hoàn toàn có thể trình bày ngơi nghỉ dạng bảng:Quận-Huyện Tỉnh-TPLong Khánh Đồng NaiGò vấp váp Tp.HCMBình Chánh Tp.HCMLong Thành Đồng NaiVí dụ 1.2: mang lại tập A=2,4,6 và B=a,b,c,d a) có bao nhiêu quan hệ khác nhau rất có thể có thân A và B? b) bao gồm bao nhiêu quan tiền hệ bao gồm chứa cặp (2,b)? c) có bao nhiêi quan hệ không cất cặp (1,a) cùng (3,b)?Giải:1.2. Định nghĩa 1.2: Một tình dục R bao gồm n ngôi trên những tập A1,A2, …,An là một tập conA1× A2× … × An. Các tập A1, A2,…, An call là những miền của R. Lấy một ví dụ 1.8: mang đến A1: Tập chuyến những tàu , A2: Tập những nhà ga A3=0,1,2,…23: Giờ trong thời gian ngày A4=0,1,2,…59: Phút trong tiếng Xét quan hệ nam nữ R (4 ngôi) gồm những bộ bao gồm dạng (x, y, z, t) cho thấy thêm lịch tàu cho tạimỗi ga, cùng với x: số hiệu tàu, y: ga, z: giờ, t: phút. Giả dụ tàu S1 mang đến ga Nha trang thời điểm 13h30,thì: (S1, Nha Trang ,13,30)∈R trường hợp tàu S3 đến ga tp sài thành lúc 4h30 thì(S3,Saì Gòn,4,30)∈RNếu tàu S1 mang đến ga mặc dù Hòa lúc 17h45 thì :(S1,Tuy Hòa,17,45)∈R giả dụ tàu LH2 mang lại ga Bình Định cơ hội 4h00 thì:(LH2,Bình Định,4,0)∈R bao gồm thể bố trí các bộ phận của quan hệ tình dục ở dạng bảng:Số Tàu Ga tiếng PhútS1 Nha Trang 13 30S3 thành phố sài thành 4 40S1 tuy Hòa 17 45LH2 Bình Định 4 00 từng dòng là một bộ của R 1.3. Định nghĩa 1.3: cho trước những tập A1, A2, …, An. Ánh xạ chiếu lên những thành phần sản phẩm i1,i2, …, yên (m ≤ n) được định nghĩa: πi1 ,i2 ,...,im : A 1 × A 2 × ... × A n → A i1 × A i2 × ... × A im (a 1 × a 2 × ... × an ) π (ai1 × ai2 × ... × aim ) lúc đó, cùng với R là 1 quan hệ bên trên A1, A2, …, An, thì : πi1 ,i2 ,...,im ( R ) gọi là quan hệ chiếu lấy một ví dụ 1.9: đến A1=Số hiệu các chuyến tàu; A2=các ga ; A3=Giờ đến=0,1,2, …,23; A4=phút=0,1,2,…, 59 và quan hệ R=“Lịch tàu” thân A1, A2, A3. Ví như chỉ ý muốn biết danh sách những tàu cùng ga cho (không cần lưu ý đến thời điểm), ta xét quan hệ giới tính chiếu: π SoTau ,Ga (R ) πSoTau ,Ga (R) R Số Tàu Ga giờ Phút S1 Nha Trang 13 30 S3 tp sài gòn 4 40 S1 mặc dù Hòa 17 45 Số Tàu Ga LH2 Bình Định 4 00 S1 Nha Trang S3 tp sài thành S1 mặc dù Hòa LH2 Bình Định 2. Một trong những tính hóa học của quan liêu hệ: Một quan hệ R bên trên A hoàn toàn có thể có các tính chất sau đây: a) Tính sự phản xạ (reflexivity): R sự phản xạ (reflexive relaiton)⇔ ∀a∈A, aRa ví dụ như 2.1: mang đến A=1,2,3,4,5, R: Một tình dục trên A. R=(1,1),(2,2),(2,3),(3,3),(3,4), (3,5),(4,2) ,(4,4), (5,1), (5,5) R: gồm tính phản xạ.A ∆ 5 • • 4 • • 3 • • 2 • • 1 • • 1 2 3 4 5 Ab) Tính đối xứng (Symmetry):R đối xứng (symmetric relation)⇔ ∀a,b ∈A, aRb ⇒ bRa lấy ví dụ như 2.3: A=1,2,3, xét tình dục trên A R3 = (1,1), (3,2), (1,3), (3,1), (2,3) là quan hệ giới tính đối xứng R4 = (2,1), (1,2), (3,2), (1,3), (3,1), (3,3) là quan hệ khôngđối xứngc) Tính bội nghịch xứng (Antisymmetry):R bội nghịch xứng (Antisymmetric relation) ⇔∀a,b∈A, (aRb)^(bRa) ⇒ a=bVí dụ 2.8: quan hệ tình dục “≤ ” trên tập số thực R, bao gồm tính bội phản xứng. Vì: ∀x,y∈R, (x≤ y ) ∧(y ≤ x) ⇒ x= yVí dụ 2.9: mang đến tập A=1,2,3,4 với quan hệ R bên trên A là: R1=(1,1),(2,3),(2,2),(4,3),(4,4) R1 không tồn tại tính phản bội xạ, nhưng gồm tính bội phản xứng. R2=(1,1),(3,3),(4,4) : Đối xứng, làm phản xứngd) Tính bắt mong (Transitivity): R có tính bắt mong (transitive relation) ⇔ ∀x,y∈A (xRy∧ yRz) ⇒ xRzVí dụ 2.10: những quan hệ “=“, “ ≤ ” bên trên R là những quan hệ có tính bắtcầu dục tình ”≠ ” trên R không có tính bắt cầu? quan hệ tình dục “//” bên trên L là quan lại hệ gồm tính bắt cầu. Dục tình “ ⊥” trên L là quan lại hệ không có tính bắt cầu. Tình dục đồng dư modulo n trên Z là quan tiền hệ bao gồm tính bắtcầu.d) Tính bắt mong (Transitive): R bao gồm tính bắt cầu ⇔ ∀x,y∈A (xRy ∧ yRz) ⇒ xRzVí dụ 2.10: những quan hệ “=“, “ ≤ ” bên trên R là các quan hệ gồm tính bắtcầu dục tình ”≠ ” trên R không có tính bắt cầu? dục tình “//” bên trên L là quan liêu hệ gồm tính bắt cầu. Quan hệ “ ⊥” trên L là quan tiền hệ không có tính bắt cầu. Quan hệ đồng dư modulo n bên trên Z là quan hệ tất cả tính bắtcầu.Ví dụ 2.5: Xét quan hệ đồng dư modulo n bên trên z. ∀a,b∈z, a≡ b(mod n) ⇔ a-b chia hết cho n.(Nghĩa là: a, b gồm cùng số dư khi phân tách cho n) Ta có: ∀a∈z, a-a = 0 chia hết cho n. Xuất xắc ∀ a∈z, a≡ a(mod n) Vậy ≡ (mod n) bao gồm tính phản nghịch xạ. ∀a,b∈z, a≡ b(mod n) ⇔ a-b chia hết mang lại n ⇒a-b=kn cùng với k∈z ⇒b-a=-kn ⇒b-a chia hết đến n ⇒ b≡ a(mod n)Vậy ≡ (mod n) bao gồm tính đối xứng ∀a,b,c∈z, a≡ b(mod n) và b≡ c(mod n) ⇔ a – b = k1n với b-c = k2n với k1, k2∈z ⇒ a-c = (a-b)+(b-c)=(k1+k2)n hay a-c phân tách hết mang đến n.Hay a≡ c(mod n) . Vậy ≡ (mod n) bao gồm tính bắt cầuVí dụ 2.11: A=Các tỉnh/Thành phố R: “Láng giềng” (xem ví dụ như trước) R: bao gồm tính bội nghịch xạ, đối xứng, nhưng không có tính phảnxứng, và không có tính bắt cầu.Ví dụ 2.12: A=Người; R:”Quen biết” (xem lấy ví dụ trước) R: không có tính bắt cầuVí dụ 2.13: A=Con người, Xét tình dục R:”Anh em” được định nghĩa: ∀x,y∈A, xRy ⇔ x gồm cùng phụ huynh với y R: có tính phản xạ, đối xứng và bắc cầu.3. Biểu diễn quan hệ bằng ma trậnMột quan hệ tình dục trên tập hữu hạn A=a1, a2, …, an hoàn toàn có thể biểu diễn bởi ma trậnvuông 0-1 cấp cho n được định nghĩa: RA=(rij) với rij bằng 1 ví như (ai,aj)∈R và bằng 0 nếu(ai,aj)∉RVí dụ 4.1: đến A=1,2,3,4,5,6 , quan hệ giới tính được định nghĩa: ∀x,y∈A, x R y ⇔ “x cùng tính chẵn lẻ với y”R=(1,1),(1,3), (1,5), (2,2),(2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6) 1 2 3 4 5 61 1 0 1 0 1 02 0 1 0 1 0 1 3 1 0 1 0 1 0 4 0 1 0 1 0 15 1 0 1 0 1 0 6 0 1 0 1 0 1 Ví dụ 4.2: mang đến E=a,b,c, quan liêu hệ khái quát (⊂) bên trên tập P(E) . ∀A,B∈ P(E), ARB ⇔ A ⊂ B ∅ a b c a,b a,c b,c a,b,c φ 1 1 1 1 1 1 1 1 a 0 1 0 0 1 1 0 1 b 0 0 1 0 1 0 1 1 c 0 0 0 1 0 1 1 1 a ,b 0 0 0 0 1 0 0 1 a ,c 0 0 0 0 0 1 0 1 b ,c 0 0 0 0 0 0 1 1 a ,b , c 0 0 0 0 0 0 0 1 4. Quan hệ tình dục tương đươngĐịnh nghĩa 4.1: dục tình R trên tập hợp A gọi là quan tiền hệ tương đương nếu thỏa các tínhchất: phản xạ, đối xứng cùng bắc cầuVí dụ 4.1: Xét tình dục R bên trên tập số nguyên z được định nghĩa: ∀m,n∈ z, mRn ⇔ “m cùngtính hóa học chẵn lẻ cùng với n”Ta có: ∀m ∈ z , m thuộc tính chẵn lẻ với chính nó. Vậy R bội nghịch xạ. ∀m,n ∈ z, mRn ⇔“m thuộc tính chẳn lẻ cùng với n” ⇒ “n thuộc tính chẳn lẻ với m” ⇒ nRm. Vậy R đối xứng. ∀m,n,k∈z mRn ⇔“m cùng tính chẳn lẻ cùng với n” ⇒ m-n=2r (k∈z) nRk ⇔“n cùng tính chẳn lẻ cùng với k” ⇒ m-k=2t (t∈z) ⇒ m-k = (m-n)+(n-k)=2(r+t) ⇒ “m với k vùng tính chẵn lẻ”⇒ mRk. Có tính bắt ước .Kết luận: R phản xạ, đối xứng với bắc cầu buộc phải R là quan tiền hệ tương tự trên Z.Ví dụ 4.2: quan hệ giới tính R trên tập S gồm những chuỗi kí từ bỏ được định nghĩa: ∀s1,s2∈S, s1Rs2 ⇔len(s1)=len(s2). Là quan hệ tương đương.Định nghĩa 4.2(lớp tương đương): mang đến R là một trong quan hệ tương đương trên A và x∈A,lớp tương đương chứa x là tập nhỏ của A bao gồm những phần tử có tình dục R với x. Nói biện pháp khác: Lớp tương tự chứa x là tập bé của Ađược định nghĩa:
Xem thêm: Cách Làm Detox Trái Cây Khô Tại Nhà, 3 Cách Làm Hoa Quả Sấy Khô Detox Giảm Cân, Đẹp Da
(0 ∧ 1) ∨ (1 ∧ 0) (0 ∧ 1) ∨ (1 ∧ 1) (0 ∧ 1) ∨ (1 ∧ 1) B= (1 ∧ 1) ∨ (0 ∧ 0) (1 ∧ 1) ∨ (0 ∧ 1) (1 ∧ 0) ∨ (0 ∧ 1) thí dụ tích Boole tiếp theo: 1∨ 0 1∨ 0 0∨ 0 . A 0∨ 0 0 ∨1 0 ∨1 1∨ 0 1∨ 0 0∨ 0 B= 1 1 0 = 0 1 1 1 1 0Một số tính chất: 1- M R1∪R2 = M R1 ∨ M R2 2- M R1∩R2 = M R1 ∧ M R2 3- M R1R2 = M R1 .M R 2 Thí dụ: cho những quan hệ R1 với R2 trên tập A được trình diễn bởi những ma trận 1 0 1 1 0 1 MR = 1 1 0 0 M R2 = 0 1 1 0 1 0 1 0 0 Thí dụ tiếp theo : 1 1- M R1∪ R2 = M R1 ∨ M R2 0 1 = 1 1 1 1 1 0 1 0 1 2- M R1∩ R2 = M R1 ∧ M R2 = 0 0 0 0 0 0